¿Mamadera de gallo matemática?

Redacción

Es una las primeras comprensiones e intuiciones que tenemos del mundo desde muy temprana edad y el tipo de intuición que dio origen a la religión si pensamos en hombres como Pitágoras. Pero ¿cómo demostrar matemáticamente que 1 + 1 = 2? La respuesta es un tanto quimérica y harto más complicada de lo que alguien como Bertrand Russell supuso

Principia Mathematica es una obra en tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas escrita por Alfred North Whitehead y Bertrand Russell. El primero fue matemático de carrera y el segundo, matemático también, terminó siendo uno de los filósofos más influyentes y leídos del siglo pasasdo. El objetivo declarado de Principia Mathematica era demostrar cómo toda la matemática podía reducirse a términos lógicos utilizando la lógica simbólica para derivar las matemáticas a partir de axiomas básicos. Uno de esos axiomas es, por supuesto, el esencial y cuasi-romántico: 1 + 1 = 2 que Russell intentó demostrar en el Volumen II.

Russell no tardó en darse cuenta de que su objetivo era una tarea gigantesca. Él mismo dijo haber tardado nueve años en escribirlo trabajando un promedio de diez horas diarias. Se publicó entre 1910 y 1913 con casi un vólumen por año. Ambos autores tuvieron que pagar parte de los costos de su publicación con lo cual intuimos que si hubiese sido ho, quizá hubiera terminado en una oscura lista de Amazon. Russell había reducido las matemáticas a enunciados sobre clases -que a su vez se disuelven en una teoría de funciones proposicionales- las que a su vez desaparecen en una teoría de distintos niveles para así evitar la circularidad y la paradoja en los juicios de verdadero o falso. Principia Mathematica emplea una lógica complicada que se basa en algunos axiomas ad hoc que no pueden demostrarse y podrían ser erróneos. Es decir: las matemáticas, como todo lo humano, tampoco posee verdades absolutas.

En 1931, Kurt Gödel demostró con su Teorema de la Incompletitud que la búsqueda de Russell era intrínsecamente imposible. El Teorema de la Incompletitud demuestra que, por mucho que nos esforcemos, nadie podrá nunca reducir todas las matemáticas a la aplicación de reglas fijas, incluida la lógica. Las matemáticas «funcionan» construyendo argumentos lógicamente válidos derivados de unos pocos axiomas fundamentales, que parecen a primera vista básicos y evidentes. A continuación, comprobamos si algo es verdadero o falso viendo si podemos demostrarlo a partir de nuestros axiomas originales. Si no podemos, generalmente asumimos que hemos pasado por alto un axioma importante y lo añadimos a la lista. Este fue en gran medida el procedimiento de Russell. Lo que el teorema de Gödel afirma básicamente es que nunca seremos capaces de encontrar suficientes axiomas, no importa cuántos sigamos añadiendo.

Aunque Principia Mathematica es muy apreciado por muchos matemáticos, las notaciones del libro no se utilizan mucho hoy en día. No obstante, el interés académico, histórico y filosófico por él siguen siendo grande y constante. Aunque Russell y Whitehead nunca lograron su objetivo final e inalcanzable, en gran medida sí lograron mucho. Ambos demostraron que gran parte (si no toda) de la matemática puede derivarse de la lógica. Esto revolucionó la lógica por completo. Antes de Principia Mathematica, aquella no se había desarrollado mucho desde la relativamente simple deducción aristotélica.

Ha de entenderse que la lógica matemática está estrechamente ligada al desarrollo del positivismo lógico en la filosofía de Wittgenstein -quien fue discípulo de Russell en Cambridge- y del subsecuente análisis del lenguaje. Esto fue posible porque los lógico-positivistas buscaron crear una “filosofía científica” utilizando la precisión de la lógica formal. La lógica matemática les proporcionó las herramientas, especialmente en el análisis de la estructura del lenguaje y las teorías científicas.

A menudo todo gran esfuerzo, por titánico que haya sido, la posteridad lo reduce a una mera anecdota. Por ello lo que sí quedó claro y es fácilmente demonstrable para la historia fue el humor de Russell cuando declaró: “1 + 1 = 2. The above proposition is occasionally useful.“ Un humor más filosófico que inglés y que la conocida banda de rock Radiohead entendió y comparte con nosotros cuando compusieron una canción como 2 + 2 = 5

En la imagen principal, la foto de la izquierda corresponde a Bertrand Russell en su estudio en Penrhyndeudreath, Gwynedd, País de Gales, Reino Unido, publicada en Look Magazine el 13 de enero de 1962. A la derecha está resaltada parte de la prueba de que 1 + 1 = 2 que aparece en Principia Mathermatica Volumen II, 1912, página 83.

.